Абелева или коммутативная группа есть группа, в которой групповая операция является коммутативной; то есть группа абелева если для любых двух элементов .

Групповая операция в абелевых группах обычно называется «сложением» и обозначается знаком .

Название дано в честь норвежского математика Абеля за его вклад в исследование групп подстановок.

Примеры

• Группа параллельных переносов в линейном пространстве.
• Любая циклическая группа . Действительно, для любых и верно, что

  .

  • В частности, целые числа образуют коммутативную группу по сложению, также как и классы вычетов .
• Любое кольцо является коммутативной (абелевой) группой по своему сложению. В том числе и вещественные числа с операцией сложения.
• Обратимые элементы коммутативного кольца, в частности, ненулевые элементы любого поля, образуют абелеву группу по умножению. Например, вещественные числа, не равные нулю, с операцией умножения.

Связанные определения

• По аналогии с размерностью у векторных пространств, каждая абелева группа имеет ранг. Он определяется как минимальная размерность пространства над полем рациональных чисел, в которое вкладывается фактор группы по её кручению.

Свойства

• Конечнопорождённые абелевы группы изоморфны прямым суммам циклических групп.
  • Конечные абелевы группы изоморфны прямым суммам конечных циклических групп.
• Любая абелева группа имеет естественную структуру модуля над кольцом целых чисел. Действительно, пусть — натуральное число, а — элемент коммутативной группы с операцией, обозначаемой +, тогда можно определить как ( раз) и .
  • Утверждения и теоремы, верные для абелевых групп (то есть модулей над кольцом главных идеалов ), зачастую могут быть обобщены на модули над произвольным кольцом главных идеалов. Типичным примером является классификация конечнопорожденных абелевых групп.
• Множество гомоморфизмов всех групповых гомоморфизмов из в само является абелевой группой. Действительно, пусть — два гомоморфизма групп между абелевыми группами, тогда их сумма , заданная как , тоже является гомоморфизмом (это неверно, если некоммутативная группа).

Конечные абелевы группы

Основополагающая теорема о структуре конечной абелевой группы утверждает, что любая конечная абелева группа может быть разложена в прямую сумму своих циклических подгрупп, порядки которых являются степенями простых чисел. Это следствие общей теоремы о структуре конечнопорождённых абелевых групп для случая, когда группа не имеет элементов бесконечного порядка. изоморфно прямой сумме и тогда и только тогда, когда и взаимно просты.

Следовательно, можно записать абелеву группу в форме прямой суммы

двумя различными способами:

• Где числа степени простых
• Где делит , которое делит , и так далее до .

Например, может быть разложено в прямую сумму двух циклических подгрупп порядков 3 и 5: . То же можно сказать про любую абелеву группу порядка пятнадцать, приходим к выводу, что все абелевы группы порядка 15 изоморфны.

Вариации и обобщения

• Дифференциальной группой называется абелева группа , в которой задан такой эндоморфизм , что . Этот эндоморфизм называется дифференциалом. Элементы дифференциальных групп называются цепями, элементы ядра — циклами, элементы образа — границами.

См. также

• Алгебраическая система

Литература

• Винберг Э. Б. Курс алгебры. — 3-е изд. — М.: Факториал Пресс, 2002. — 544 с. — 3000 экз. — ISBN 5-88688-060-7