В математике биномиальные коэффициенты — это коэффициенты в разложении бинома Ньютона по степеням x. Коэффициент при обозначается (иногда ) и читается «биномиальный коэффициент из n по k» (или «це из n по k»):
В комбинаторике биномиальный коэффициент интерпретируется как количество сочетаний из n по k, то есть количество всех подмножеств (выборок) размера k в n-элементном множестве.
Биномиальные коэффициенты часто возникают в задачах комбинаторики и теории вероятностей. Обобщением биномиальных коэффициентов являются мультиномиальные коэффициенты.
Содержание |
Значение биномиального коэффициента определено для всех целых чисел n и k. Явные формулы для вычисления биномиальных коэффициентов:
где обозначает факториал числа m.
Тождество
позволяет расположить биномиальные коэффициенты для неотрицательных целых чисел n, k в виде треугольника Паскаля, в котором каждое число равно сумме двух вышестоящих:
Треугольная таблица, предложенная Паскалем в «Трактате об арифметическом треугольнике» (1654), отличается от выписанной здесь поворотом на 45°. Таблицы для изображения биномиальных коэффициентов были известны и ранее (Тарталье, О. Хайяму и др.).
Строки в треугольнике Паскаля в пределе стремятся к функции нормального распределения.
Если взять квадратную матрицу, отсчитав N элементов по катетам треугольника и повернув квадрат на любой из четырёх углов, то детерминант этих четырёх матриц по модулю равен 1 при любом N. Если поставить уголом из 1 в верхний левый угол, то детерминант матрицы будет равен 1.
В матрице числа на диагонали i + j = const повторяют числа строк треугольника Паскаля (i, j = 0...∞).
Матрицу , где i, j = 0..p можно разложить в произведение двух строго диагональных матриц. Первая нижнетреугольная, а вторая получается из первой путем транcпонирования. Матрицы удовлетворяет соотношению:
Обратная матрица к U имеет вид:
Таким образом, можно разложить обратную матрицу к в произведение двух строго диагональных матриц: первая матрица — верхнетреугольная, а вторая получается из первой путем транспонирования, что позволяет дать явное выражение для обратных элементов:
Элементы обратной матрицы меняются при изменение её размера и, в отличие от матрицы , недостаточно приписать новую строку и столбец.
Для фиксированного значения n производящей функцией последовательности биномиальных коэффициентов является:
Для фиксированного значения k производящей функцией последовательности биномиальных коэффициентов является:
Двумерной производящей функцией биномиальных коэффициентов является:
Из теоремы Люка следует, что:
(свёртка Вандермонда).
где — энтропия.
Биномиальные коэффициенты могут быть вычислены с помощью формулы , если на каждом шаге хранить значения при . Этот алгоритм особенно эффективен, если нужно получить все значения при фиксированном . Алгоритм требует памяти ( при вычислении всей таблицы биномиальных коэффициентов) и времени (в предположении, что каждое число занимает единицу памяти и операции с числами выполняются за единицу времени).
При фиксированном значении k биномиальные коэффициенты могут быть вычислены по рекуррентной формуле с начальным значением . Для вычисления значения этот метод требует памяти и времени.
Биномиальный коэффициент.