Декартов лист — плоская кривая третьего порядка, удовлетворяющая уравнению в прямоугольной системе . Параметр определяется как диагональ квадрата, сторона которого равна наибольшей хорде петли.
Содержание |
Впервые уравнение кривой исследовал Р. Декарт в 1638 году, однако он построил только петлю в первом координатном угле, где и принимают положительные значения. Декарт полагал, что петля симметрично повторяется во всех четырёх координатных четвертях, в виде четырёх лепестков цветка. В то время эта кривая называлась цветком жасмина (англ. jasmine flower, фр. fleur de jasmin).
В современном виде эту кривую впервые представил Х. Гюйгенс в 1692 году.
Часто рассматривают повёрнутую на кривую. Её уравнения выглядят так:
| Вывод уравнений повёрнутой кривой |
|---|
| Систему координат XOY преобразуют в систему координат UOV, которая получается поворотом осей OX и OY по часовой стрелке на угол и переориентацией оси OX в противоположном направлении:
Выражение старых координат XY через новые UV выглядит так:
После подстановки выражений старых координат через новые уравнение декартова листа преобразуется к следующему виду:
Вводим параметр , последнее уравнение перепишется так: или
Заменяем переменные u и v на привычные x и y и получаем уравнение декартового листа в новой системе координат: Подставив в уравнение предыдущее , получаем уравнение декартова листа в полярной системе координат:
Решая данное выражение относительно , получаем:
|
| Вывод уравнения асимптоты |
|---|
| Для повёрнутого декартового листа:
При имеем
Рассматриваем второй случай: , то есть, , то есть , значит . Уравнение асимптоты UV определяется из выражения:
После поворота осей на получаем окончательное уравнение |
| Нахождение площади |
|---|
Площадь , заключённая между дугами ACO и ABO вычисляется так:
Этот интеграл вычисляется с помощью подстановки:
Пределы интегрирования: Интеграл преобразуется к виду: или Первый интеграл из этого уравнения:
Подстановка:
Пределы интегрирования:
Интеграл преобразуется к виду:
Второй интеграл: Подстановка:
Пределы интегрирования:
Интеграл преобразуется к виду:
Итак:
Площадь равна
|
| Нахождение площади |
|---|
| Площадь , заключённая между ветвями кривой и асимптотой UV, вычисляется точно также, как и площадь ; интеграл берётся в пределах от 0 до .
Этот интеграл вычисляется также, как и в предыдущем случае.
|
| Нахождение объёма вращения |
|---|
Объём () тела, образованного при вращении дуги вокруг оси абсцисс, рассчитывается так:
Итак:
Объём () тела, образованного при вращении одной ветви вокруг оси абсцисс, стремится к бесконечности. Этот объём вычисляется из предыдущего интеграла в пределах от до . Этот интеграл равен бесконечности, то есть
|
При имеем или , или , то есть .
Уравнение асимптоты UV определяется из выражения:
Чтобы найти максимальное значение функции и уравнение касательной, вычислим производную функции:
Приравниваем производную y' нулю и решаем, полученное уравнение, относительно x. Получим: . При этом значении x функция (2) имеет максимум на верхней дуге — точка и минимум на нижней дуге — точка . Значение функции в этих точках равно:
Значение производной y’ в точке равно , то есть касательные в точке взаимно перпендикулярны и наклонены к оси абсцисс под углом .
Декартов лист.
