Цепное правило (правило дифференцирования сложной функции) позволяет вычислить производную композиции двух и более функций на основе индивидуальных производных. Если функция f имеет производную в точке , а функция g имеет производную в точке , то сложная функция h(x) = g(f(x)) также имеет производную в точке .

Одномерный случай

Пусть даны функции, определённые в окрестностях на числовой прямой, где и Пусть также эти функции дифференцируемы: Тогда их композиция также дифференцируема: и её производная имеет вид:

Замечание

В обозначениях Лейбница цепное правило для вычисления производной функции где принимает следующий вид:

Инвариантность формы первого дифференциала

Дифференциал функции в точке имеет вид:

где  — дифференциал тождественного отображения :

Пусть теперь Тогда , и согласно цепному правилу:

Таким образом, форма первого дифференциала остаётся одной и той же вне зависимости от того, является ли переменная функцией или нет.

Пример

Пусть Тогда функция может быть записана в виде композиции где

Дифференцируя эти функции отдельно:

получаем

Многомерный случай

Пусть даны функции где и Пусть также эти функции дифференцируемы: и Тогда их композиция тоже дифференцируема, и её дифференциал имеет вид

В частности, матрица Якоби функции является произведением матриц Якоби функций и

Следствия

• Якобиан композиции двух функций является произведением якобианов индивидуальных функций:

Для частных производных сложной функции справедливо

См. также

• Формула Фаа-ди-Бруно