Дробная производная (или производная дробного порядка) является обобщением математического понятия производной. Существует несколько разных способов обобщить это понятие, но все они совпадают с понятием обычной производной в случае натурального порядка. Когда рассматриваются не только дробные, но и отрицательные порядки производной, к такой производной обычно применяется термин дифферинтеграл.

Дробные производные на отрезке вещественной оси

Для функции , заданной на отрезке , каждое из выражений

называется дробной производной порядка , , соответственно левосторонней и правосторонней. Дробные производные в приведенном виде называют обычно производными Римана — Лиувилля.

Определение через интеграл Коши

Дробная производная порядка ( — действительное положительное число) определяется через интеграл Коши: , где интегрирование ведется по выбранному заранее контуру на комплексной плоскости. Непосредственное применение этой формулы затруднено из-за ветвления функции при дробном показателе степени в знаменателе.

Определение через преобразование Фурье

Основано на следующем свойстве интегрального преобразования Фурье

Определение через общую формулу n-й производной

В случае, если есть общее аналитическое выражение для производной n-го порядка, понятие дробной производной может быть введено естественным образом путём обобщения данного выражения (когда это возможно) на случай произвольного числа n.

Пример 1: дифференцирование многочленов

Пусть есть моном вида

Первая производная, как и обычно

Повторение данной процедуры даёт более общий результат

который после замены факториалов гамма-функциями приводит к

Поэтому, например, половинная производная функции x есть

Повторяя процедуру, будем иметь

что представляет собой ожидаемый результат

Таким образом можно ввести дробные производные произвольного положительного порядка от многочлена. Определение также естественно обобщается на аналитические функции. Рассматривая как мероморфную функцию комплексного переменного, можно обобщить определение на случай произвольного порядка дифференцирования. При этом

на всех , таких что , и не являются целыми отрицательными числами.

Следует заметить, что производная имеет место при целых отрицательных n, однако такая производная отличается от понятия первообразной n-го порядка, поскольку первообразная определена неоднозначно, в то время как производная в рассмотренном смысле совпадает лишь с одной из первообразных.

Пример 2: дифференцирование тригонометрических функций

Пусть

Поскольку для любых a и b

то, полагая ,

Действительно,

В рассмотренном примере понятие производной обобщается на случай любого действительного и даже комплексного порядка. Так, при формула n-й производной даёт одну из первообразных функции .

Свойства

Основные свойства производной нецелого порядка:

• Линейность

• Правило нуля

• Дробная производная произведения

• Полугрупповое свойство

в общем случае не выполняется ^[1].

Примечания

См. также

• Дифферинтеграл
• Дробная динамика
• Наследственная механика

Литература

• Риман Б. «Опыт обобщения действий интегрирования и дифференцирования» в Бернгард Риман Сочинения. пер с нем. Под ред. Гончарова В. Л., М.-Л.: ГИТТЛ, 1948. 544 с. C. 262—275.

• Самко С. Г., Килбас А. А., Маричев О. И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. — Минск: Наука и техника, 1987. — 688 с.
• Псху А. В. Уравнения в частных производных дробного порядка. — Москва: Наука, 2005. — 199 с.
• Нахушев А. М. Дробное исчисление и его применение. — Москва: ФИЗМАТЛИТ, 2003. — 272 с. — 5-9 221-0 440-3 экз.
• Учайкин В. В. Метод дробных производных. — Ульяновск: Артишок, 2008. — 512 с. — 400 экз. — ISBN 978-5-904198-01-5
• Тарасов В. Е. Модели теоретической физики с интегро-дифференцированием дробного порядка. — Москва, Ижевск: РХД, 2010. — 568 с.
• В. В. Васильев, Л. А. Симак, Дробное исчисление и аппроксимационные методы в моделировании динамических систем. Киев, НАН Украины, 2008. — 256 с. ISBN 978-966-02-4384-2

• Fractional Calculus. An Introduction for Physicists, by Richard Herrmann. Hardcover. Publisher: World Scientific, Singapore; (February 2011) http://www.worldscientific.com/worldscibooks/10.1142/8072)
• A.A. Kilbas, H.M. Srivastava, J.J. Trujillo, Theory and Applications of Fractional Differential Equations. (Elsevier, Amsterdam, 2006).
• S.G. Samko, A.A. Kilbas, O.I. Marichev, Fractional Integrals and Derivatives Theory and Аpplications. (Gordon and Breach, New York, 1993).
• K. Miller, B. Ross, An Introduction to the Fractional Calculus and Fractional Differential Equations. (Wiley, New York, 1993).
• I. Podlubny, Fractional Differential Equations. (Academic Press, San Diego, 1999).
• A.A. Kilbas, H.M. Srivastava, J.J. Trujillo, Theory and Application of Fractional Differential Equations. (Elsevier, Amsterdam, 2006).
• B. Ross, «A brief history and exposition of the fundamental theory of fractional calculus» Lect. Notes Math. Vol.457. (1975) 1-36.

Ссылки

• журнал: «Fractional Calculus & Applied Analysis», An International Journal for Theory and Applications, ISSN 1311-0454.  (англ.)
• журнал: Fractional Differential Equations (FDE)
• журнал: Communications in Fractional Calculus (ISSN 2218-3892)
• Applications of Fractional Calculus  (англ.)
• Fractional Calculus, the Riemann-Liouville definition of the fractional integral, a definition of fractional derivatives, and a list of applications of the calculus.  (англ.)
• Fractional Calculus  (англ.)
• Fractional Calculus — Contains introductory notes on fractional calculus  (англ.)
• Weisstein, Eric W. Fractional Calculus (англ.) на сайте Wolfram MathWorld..
• Интегралы и производные дробного порядка и их приложения. С. Г. Самко, А. А. Килбас, О. И. Маричев, Минск, 1987