Ле́мма Ферма́ утверждает, что производная дифференцируемой функции в точке локального экстремума равна нулю.
Содержание |
У Ньютона этот факт упоминался как т.н. принцип остановки[1]:
Когда величина есть наибольшая или наименьшая из всех возможных, то она в этот момент не течёт ни вперёд, ни назад. |
Выдвинут Николаем Орезмским в его учении о широтах и долготах[2].
Пусть функция имеет во внутренней точке области определения локальный экстремум. Пусть также существуют односторонние производные конечные или бесконечные. Тогда
В частности, если функция имеет в производную, то
Предположим, что . Тогда .
Поэтому:
Если производная определена, то получаем
то есть
Производная дифференцируемой функции в точке локального экстремума равна нулю. Её касательная в этой точке параллельна оси абсцисс. Обратное, вообще говоря, неверно.
но точка не является точкой локального экстремума.
Лемма Ферма.