Бинарное отношение на множестве называется отношением порядка, или отношением частичного порядка, если имеют место

• Рефлексивность:
• Транзитивность: ;
• Антисимметричность: .

Множество , на котором введено отношение частичного порядка, называется частично упорядоченным.

Отношение , удовлетворяющее условиям рефлексивности, транзитивности, антисимметричности также называют нестрогим, или рефлексивным частичным порядком и обычно обозначают символом . Если условие рефлексивности заменить на условие антирефлексивности:

,

то получим определение строгого, или антирефлексивного частичного порядка, обозначаемое обычно символом . В общем случае, если  — транзитивное, антисимметричное отношение, то

 — рефлексивный порядок

 — антирефлексивный порядок.

Отношение частичного порядка называется линейным порядком, если выполнено условие

Множество , на котором введено отношение линейного порядка, называется линейно упорядоченным, или цепью.

Отношение , удовлетворяющее только условиям рефлексивности и транзитивности, называется квазипорядком, или предпорядком.

Примеры

• На множестве вещественных чисел отношения «больше» и «меньше» являются отношениями строгого порядка, а «больше или равно» и «меньше или равно» — нестрогого.
• Отношение делимости на множестве целых чисел являются отношением нестрогого порядка.

Размерность Душника — Миллера

Размерность Душника — Миллера (англ.) (иногда называемая просто размерность) частичного порядка — это наименьшее количество отношений линейного порядка, пересечение которых равно данному частичному порядку. Задача распознавания того, превосходит ли размерность данного конечного частичного порядка число принадлежит к классу P при но является NP-полной при ^[1]

История

Знаки и изобретены Хэрриотом.

См. также

• Бинарное отношение
• Частично упорядоченное множество
• Линейно упорядоченное множество
• Предпорядок
• Теорема Шпильрайна

Ссылки

1. ↑ Yannakakis, Mihalis (1982), "The complexity of the partial order dimension problem", SIAM Journal on Algebraic and Discrete Methods 3 (3): 351–358