Предел последовательности

Основная статья: Предел последовательности

Число называется пределом последовательности , если , , : . Предел последовательности обозначается . Куда именно стремится , можно не указывать, поскольку , оно может стремиться только к .

Свойства:

• Если предел последовательности существует, то он единственный.
• (если оба предела существуют)
• (если оба предела существуют)
• (если оба предела существуют и знаменатель правой части не ноль)
• Если и , то (теорема «о зажатой последовательности», также известная, как «теорема о двух милиционерах»)

Предел функции

Основная статья: Предел функции

Число b называется пределом функции f(x) в точке a, если существует , такое что выполняется .

Для пределов функций справедливы аналогичные свойства, как и для пределов последовательностей, например, , если все члены существуют.

Обобщенное понятие предела последовательности

Пусть  — некоторое множество, в котором определено понятие окрестности (например, метрическое пространство). Пусть  — последовательность точек (элементов) этого пространства. Говорят, что есть предел этой последовательности, если в любой окрестности точки лежат почти все члены последовательности то есть