В теории чисел, Лемма Золотарёва утверждает, что символ Лежандра
для целого по модулю нечётного простого числа р, которое не разделяет a, можно вычислить как знак перестановки:
где ε обозначает знак перестановки и π является перестановкой ненулевых вычетов по модулю р , полученных умножением на a .
Содержание |
Лемма Золотарева легко выводится из леммы Гаусса и наоборот. Например,
является символом Лежандра (a / p) при а = 3 и р = 11. Начнём с множества {1,2, ..., р-1} в виде матрицы из двух строк, так, что сумма двух элементов любого столбца равна нулю по модулю р , например:
1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
10 | 9 | 8 | 7 | 6 |
Применим перестановку (mod р):
3 | 6 | 9 | 1 | 4 |
8 | 5 | 2 | 10 | 7 |
Столбцы еще обладают тем свойством, что сумма двух элементов в одном столбце равна нулю по модулю р. Теперь применим подстановку V , которая поменяет местами любые две пары, в которых верхний член был изначально нижним членом:
3 | 5 | 2 | 1 | 4 |
8 | 6 | 9 | 10 | 7 |
Наконец, применим перестановку W, которая вернёт обратно исходную матрицу:
1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
10 | 9 | 8 | 7 | 6 |
Таким образом, W-1 = VU. Лемма Золотарёва утверждает, что (a / p) = 1 если и только если перестановка U чётная. Лемма Гаусса утверждает, что (a / p) = 1, если и только если V чётная. Но W чётная, так что обе леммы эквивалентны для данных (но произвольных) a и р.
Эта лемма была введена русским математиком Егором Ивановичем Золотарёвым в 1872 году в доказательстве квадратичной взаимности.
Это заготовка статьи по математике. Вы можете помочь проекту, исправив и дополнив её. |
Лемма Золотарёва.