Фазовый интеграл (англ. Phase Integral) — один из фундаментальных интегралов квантовой механики, впервые предложенный Фейнманом в начале 60-х годов XX века. Подобно интегралу по траекториям, этот интеграл позволяет находить смещение фазы, обусловленное влиянием какого-то поля. Например, влияние магнитного поля на движение квантовой частицы[1] приводит к смещению фазы:
где — заряд электрона, — скорость света в вакууме, — приведенная постоянная Планка, — векторный потенциал магнитного поля (в системе СИ измеряется в вольтах) и — элемент траектории движения частицы.
Содержание |
На практике более интересен случай не интегрального изменения фазы, когда учитывается абсолютное значение векторного потенциала (а значит и магнитного поля ), а дифференциального изменения фазы. Дело в том, что в первом случае при больших значениях амплитуды потенциала мы будем иметь и большое значение изменения фазы, что не столь интересно как дифференциальный случай, когда фаза изменяется на величину, близкую к . Например, в интеренферометрии более важно не абсолютное значение параметра, а дифференциальное, что собственно и приводит к этому явлению. В квантовых антиточках Голдмана при измерении осцилляций проводимости также более существенно дифференциальное значение магнитного поля . Поэтому возникает тривиальная задача нахождения дифференциального изменения фазы при наличии периодичности магнитного поля с периодом (а значит и ). В этом случае общий фазовый интеграл Фейнмана можно переписать в форме:
где — длина контура обхода, обусловленного периодичностью , а — магнитная длина, обусловленная периодичностью . Таким образом, находим дифференциальное изменение фазы в форме:
Конечно нас более интересует безразмерное число, или так называемый фазовый фактор обхода контура, созданного периодичностью магнитного поля :
где Тл1/2В−1 — фазовая константа, которая зависит только от фундаментальных констант. Основная проблема, что осталась, состоит в том, что на практике достаточно легко измерять только магнитное поле , а потенциал находится только путём расчетов при определенных допущениях.
Ситуация кардинально изменилась с экспериментальной разработкой «квантовых антиточек» Голдманом и построением на их основе «квантовых интерферометров». Дело в том, что во всех экспериментах по исследованию квантового эффекта Холла всегда присутствует не только магнитное поле , но и электрическое поле , но оно практически не учитывалось. И только в экспериментах Годмана впервые начался учет электрического поля и контролировалась его квантизация. Конечно, само электрическое поле, направленное вдоль магнитного поля, непосредственно не измеряется. Обычно измеряется напряжение управления на гетеропереходе , а зная толщину гетероперехода, можно вычислить электрическое поле и электрическую индукцию (учитывая диэлектрическую проницаемость полупроводника). Основным результатом экспериментов Голдмана является то, что и магнитное поле , и электрическое поле квантуются коррелированно одно с другим (см. рисунки в публикациях Голдмана).
Не менее очевидно, что и магнитный потенциал должен коррелировать определенным образом с изменением электрического поля . Размерности магнитного потенциала совпадают с размерностью напряжения на затворе (вольты!), поэтому вполне справедливо допустить что они равны по величине:
Результаты обработки нескольких статей Голдмана, посвященных квантовым интерферометрам, представлены в следующей таблице:
, Тл | , В | , Тл/B | рисунок | источник | |||
---|---|---|---|---|---|---|---|
0,882 | 0,788 | 4/5 | 2/5 | Fig. 10 | Goldman [1] | ||
0,325 | 0,800 | 4/5 | 1 | Fig. 2.a, c | Goldman [2] | ||
0,3421 | 1,177 | 6/5 | 2 | Fig. 2.b, d | Goldman [2] | ||
0,882 | 0,811 | 4/5 | 2/5 | Fig. 3 | Goldman [2] | ||
0,882 | 0,811 | 4/5 | 2/5 | Fig. 2 | Goldman [3] | ||
0,1154 | 0,289 | 1/3 | 1/3 | Fig. 3.b | Goldman [4] | ||
0,3143 | 0,841 | 4/5 | 1 | Fig. 3.a | Goldman [4] | ||
0,1308 | 0,328 | 1/3 | 1/3 | Fig. 5.b | Goldman [5] | ||
0,3214 | 0,861 | 4/5 | 1 | Fig. 5.a | Goldman [5] | ||
0,1308 | 0,328 | 1/3 | 1/3 | Fig. 4.b | Goldman [6] | ||
0,314 | 0,861 | 4/5 | 1 | Fig. 4.a | Goldman [6] | ||
0,11154 | 0,293 | 1/3 | 1/3 | Fig. 3.b | Goldman [7] | ||
0,314 | 0,861 | 4/5 | 1 | Fig. 3.a | Goldman [7] | ||
0,3846 | 1,871 | 9/5 | 4 | Fig. 4(5) | Goldman [8] | ||
0,35 | 1,058 | 1 | 2 | Fig. 4(5) | Goldman [8] | ||
0,2077 | 0,496 | 1/2 | 1 | Fig. 4(5) | Goldman [8] |
Безусловно, полученный результат впечатляет, поскольку получены те же дробные значения фазы, что и так называемые дробные значения зарядов Голдмана. Следует отметить, что при вычислении зарядов ошибка увеличивается за счет учёта толщины гетероперехода и его диэлектрической проницаемости.[2]
Фазовый интеграл.