Непрерывная функция — функция без «скачков», то есть такая, у которой малые изменения аргумента приводят к малым изменениям значения функции.
Непрерывная функция, вообще говоря, синоним понятия непрерывное отображение, тем не менее чаще всего этот термин используется в более узком смысле — для отображений между числовыми пространствами, например, на вещественной прямой. Эта статья посвящена именно непрерывным функциям, определённым на подмножестве вещественных чисел и принимающим вещественные значения.
Содержание |
Пусть и .
Функция непрерывна в точке , если для любого существует такое, что для любого
Функция непрерывна на множестве , если она непрерывна в каждой точке данного множества.
В этом случае говорят, что функция класса и пишут: или, подробнее, .
Если условие, входящее в определение непрерывности функции в некоторой точке, нарушается, то говорят, что рассматриваемая функция терпит в данной точке разрыв. Другими словами, если — значение функции в точке , то предел такой функции (если он существует) не совпадает с . На языке окрестностей условие разрывности функции в точке получается отрицанием условия непрерывности рассматриваемой функции в данной точке, а именно: существует такая окрестность точки области значений функции , что как бы мы близко не подходили к точке области определения функции , всегда найдутся такие точки, чьи образы будут за пределами окрестности точки .
Если предел функции существует, но он не совпадает со значением функции в данной точке:
тогда точка называется точкой устранимого разрыва функции (в комплексном анализе — устранимая особая точка).
Если «поправить» функцию в точке устранимого разрыва и положить , то получится функция, непрерывная в данной точке. Такая операция над функцией называется доопределением фукции до непрерывной или доопределением фукции по непрерывности, что и обосновывает название точки, как точки устранимого разрыва.
Если предел функции в данной точке отсутствует (и функцию нельзя доопределить до непрерывной), то для числовых функций возникает два возможных варианта, связанных с существованием у числовых функций односторонних пределов:
Произвольные многочлены, рациональные функции, показательные функции, логарифмы, тригонометрические функции (прямые и обратные) непрерывны везде в своей области определения.
Функция задаваемая формулой
непрерывна в любой точке Точка является точкой устранимого разрыва, ибо предел функции
Функция
называется функцией знака.
Эта функция непрерывна в каждой точке .
Точка является точкой разрыва первого рода, причём
в то время как в самой точке функция обращается в нуль.
Ступенчатая функция, определяемая как
является всюду непрерывной, кроме точки , где функция терпит разрыв первого рода. Тем не менее, в точке существует правосторонний предел, который совпадает со значением функции в данной точке. Таким образом, данная функция является примером непрерывной справа функции на всей области определения.
Аналогично, ступенчатая функция, определяемая как
является примером непрерывной слева функции на всей области определения.
Функция
называется функцией Дирихле. По сути, функция Дирихле — это характеристическая функция множества рациональных чисел. Эта функция является всюду разрывной функцией, поскольку на каждом интервале существуют как рациональные, так и иррациональные числа.
Функция
называется функцией Римана.
Эта функция является непрерывной всюду в множестве иррациональных чисел (), поскольку предел функции в каждой точке равен нулю.
Функция называется равномерно непрерывной на , если для любого существует такое, что для любых двух точек и таких, что .
Каждая равномерно непрерывная на множестве функция, очевидно, является также и непрерывной на нём. Обратное, вообще говоря, неверно. Однако, если область определения — компакт, то непрерывная функция оказывается также и равномерно непрерывной на данном отрезке.
Существует два симметричных друг другу свойства — полунепрерывность снизу и полунепрерывность сверху:
Между непрерывностью и полунепрерывностью имеется следующая связь:
В соответствии с этим можно допустить для полунепрерывных функций бесконечные значения:
Функция называется односторонне непрерывной слева (справа) в каждой точке её области определения, если для одностороннего предела выполняется равенство: ()
На вещественной прямой обычно рассматривается простая линейная мера Лебега. Если функция такова, что она непрерывна всюду на , кроме, быть может, множества меры нуль, то такая функция называется непрерывной почти всюду.
В том случае, когда множество точек разрыва функции не более чем счётно, мы получаем класс интегрируемых по Риману функций (см. критерий интегрируемости функции по Риману).
Непрерывная функция.