Теорема Александрова о выпуклых многогранниках — геометрическая теорема о единственности замкнутого выпуклого многогранника с заданными направлениями граней, доказанная А.Д. Александровым в 1937 году[1],[2],[3]. Обычно её формулируют так:
Теорема Александрова о выпуклых многогранниках: Если между гранями двух замкнутых выпуклых многогранников в трёхмерном евклидовом пространстве установлено взаимно-однозначное соответствие так, что (i) единичные нормали к соответствующим граням совпадают и (ii) ни одну из граней нельзя поместить внутри соответствующей ей грани параллельным переносом, то многогранники получаются один из другого параллельным переносом (и, в частности, они конгруэнтны).
|
Укажем ещё одну формулировку, как легко видеть, эквивалентную предыдущей. В ней функция называется монотонной функцией многоугольника , если она обладает свойством: , если можно поместить внутри .
Теорема Александрова о выпуклых многогранниках: Пусть и — замкнутые выпуклые многогранники в трёхмерном евклидовом пространстве с гранями и соответственно, причём для любого выполнены условия: (i) единичные нормали к граням и совпадают и (ii) существует монотонная функция такая, что . Тогда многогранники и получаются один из другого параллельным переносом (и, в частности, они конгруэнтны).
|
Комментарии
- Для трёхмерного пространства теорема Александрова о выпуклых многогранниках обобщает теорему единственности Минковского, утверждающую, что «два равных многогранника с попарно параллельными и равновеликими гранями равны и параллельно расположены». В самом деле, в качестве монотонной функции многоугольника здесь достаточно взять площадь.
- Утверждение, получающееся из теоремы Александрова о выпуклых многогранниках, если в ней в качестве монотонной функции многоугольника взять периметр, интересно в тем, что уже более 70 лет геометры не могут найти соответствующей теоремы существования.
- В евклидовом пространстве размерности 2 утверждение, аналогичное теореме Александрова о выпуклых многогранниках, верно, но тривиально.
- В евклидовом пространстве размерности 4 (и во всех более высоких размерностях) утверждение, аналогичное теореме Александрова о выпуклых многогранниках, неверно. В качестве контрпримера можно взять четырёхмерный куб с ребром 2 и четырёхмерный прямоугольный параллелепипед с рёбрами 1, 1, 3, 3.
- О равенстве многомерных выпуклых многогранников при невмещаемости их параллельных двумерных граней, см [4].
Примечания
- ↑ А.Д. Александров, Элементарное доказательство теоремы Минковского и некоторых других теорем о выпуклых многогранниках, Известия АН СССР. Сер. мат. 1, № 4, 597—606 (1937).
- ↑ А.Д. Александров, Выпуклые многогранники. М.; Л.: ГИТТЛ, 1950.
- ↑ Л.А. Люстерник, Выпуклые фигуры и многогранники. М.: ГИТТЛ, 1956.
- ↑ А.И. Медяник, Одно обобщение теоремы единственности А.Д. Александрова для замкнутых выпуклых многогранников на случай -мерного пространства, Укр. геом. сб. 8, 91—94 (1970).